Professor Xykão Borges (Matemática): EXERCÍCIOS DE FUNÇÃO INVERSA

1) Determine a lei da função inversa de cada função dada por:
a) y=x + 5
b) y=x - 4
c) y=3x
d) y=2x -1

2) Determine a lei da função inversa de cada função dada por:
a) y= 4x + 2

$b)y=\frac{x+2}{x-2}$ para $x\neq 2$

$c)y=\frac{x-4}{x+1}$ para $x\neq -1$

3) Dada a função f dada por f(x)=x +6, calcule f ^-1(4).

4) Dada a função f dada por f(x)= 2x +1, calcule f ^-1(3).

5) Determine f ^-1 (2) + f ^-1(- 2), sabendo que f(x) 3x + 1

6) (Santa Casa-SP) se  f^-1 é a função inversa d a função f, de R em R, definida por f(x) = 3x-2, então f ^-1  (-1) é igual a:

$a)-1$

$b)-\frac{1}{3}$

$c)-\frac{1}{5}$

$d)\frac{1}{5}$

$e)\frac{1}{3}$

7) Determine a lei da função inversa de cada função dada por:
$a)y=-x+8$

$b)y=3x-5$

$c)y=\frac{2x+1}{2x-1}$

$d)y=\frac{2-x}{x}+4$

RESPOSTAS:
Observação; Veja as mudanças feitas no momento de fazer a inversa, isto é, em dado momento troco o y por x e x por y, para calcular a inversa.

1)
a) y= x + 5 trocando y e x
  x = y + 5 isolando y no 1º membro
-y = - x + 5
  y = x - 5

b) y=x - 4 trocando y e x
x = y - 4 isolando y no 1º membro
-y = - x - 4
  y = x + 4

c) y=3x trocando y e x
x = 3y isolando y no 1º membro
- 3y = - x
   ${\color{Red} y =\frac{x}{3}}$

d) y=2x -1 trocando y e x
x = 2y - 1 isolando y no 1º membro
-2y = - x -1
   ${\color{Red} y =\frac{x+1}{2}}$

2)
a) y= 4x + 2

x = 4y + 2

-4y = - x + 2

${\color{Red} y =\frac{x-2}{4}}$

$b)y=\frac{x+2}{x-2}$ para $x\neq 2$

$x=\frac{y+2}{y-2}$

x(y -2) = y + 2

xy - 2x = y + 2

xy- y = 2x + 2 colocar o termo comum (y) em evidência e dividindo.

y(x- 1) = 2x +2

${\color{Red} y=\frac{2x+2}{x-1}}$ para $x\neq 1$

$c)y=\frac{x-4}{x+1}$ $x\neq -1$

$x=\frac{y-4}{y+1}$

x( y+1) = y - 4

xy + x = y - 4

-y + xy = - x- 4

y - xy = x + 4 colocar o termo comum (y) em evidência e dividindo.

y( 1 - x) = x + 4

${\color{Red} y=\frac{x+4}{1-x}}$ para $x \neq 1$

3) Dada a função f dada por f(x)=x +6, calcule f ^-1(4).

Primeiro vamos calcular a inversa, lembrando que a função f(x)=x +6 pode ser escrita assim;

y= x + 6 substituindo y por x e x por y.

x = y + 6

-y = - x + 6

y = x - 6 substituindo x por 4

y = 4 - 6

y = -2

4) Dada a função f dada por f(x)= 2x +1, calcule f ^-1(3).

Primeiro vamos calcular a inversa, lembrando que a função f(x)=2x +1 pode ser escrita assim;

y= 2x + 1 substituindo y por x e x por y.

x = 2y + 1

-2y = - x + 1

2y = x - 1

$y= \frac{x-1}{2}$ substituindo x por 3

$y= \frac{3-1}{2}$

$y= \frac{2}{2}$

y=1   ou  f ^-1=1

5) Determine f ^-1 (2) + f ^-1(- 2), sabendo que f(x) 3x + 1

Primeiro calculamos a inversa;
y = 3x + 1

x = 3y + 1

-3y = -x + 1

3y = x - 2

$y= \frac{x-1}{3}$ substituindo x pelos valores dados

f ^-1 (2) + f ^-1(- 2)

$y= \frac{2-1}{3}+\left ( \frac{-2-1}{3} \right )$

$y= \frac{1}{3}\left -\frac{3}{3}$

${\color{Red} y= \frac{-2}{3}}$ ou seja

${\color{Red} f^{-1}(2)+f^{-1}(-2))= \frac{-2}{3}}$

6) (Santa Casa-SP) se  f ^-1é a função inversa da função f, de R em R, definida por f(x) = 3x-2, então f ^-1  (-1) é igual a:

$a)-1$

$b)-\frac{1}{3}$

$c)-\frac{1}{5}$

$d)\frac{1}{5}$

$e)\frac{1}{3}$

Primeiro calculamos a inversa;
y = 3x - 2

x = 3y - 2

-3y = -x - 2

3y = x + 2

$y=\frac{x+2}{3}$ substituindo x por ( -1)

$y=\frac{-1+2}{3}$

${\color{Red} y=\frac{1}{3}}$

letra e,  a alternativa correta.

7)
$a)y=-x+8$

x = - y + 8

   y = - x + 8

$b)y=3x-5$

x =3y - 5

-3y = - x - 5

3y = x + 5

${\color{Red} y=\frac{x+5}{3}}$

$c)y=\frac{2x+1}{2x-1}$

$x=\frac{2y+1}{2y-1}$
x(2y - 1)= 2y + 1

2yx - x = 2y + 1

2yx -2y = x + 1

2y(x - 1) = x + 1

$2y=\frac{x+1}{x-1}$

   ${\color{Red} y=\frac{x+1}{2x-2}}$

$d)y=\frac{2-x}{x}+4$

$x=\frac{2-y}{y}+4$

$x=\frac{2-y}{y}+4y$

xy = 2 - y + 4y

xy + y - 4y = 2

y(x + 1 - 3) = 2

y( x - 3) = 2

${\color{Red} y=\frac{2}{x-3}}$